Praktikumsprotokoll Messung von e/m

Dieses Praktikumsprotokoll entstand während meines Physikstudiums im Rahmen des Moduls C-Praktikum. Es wurde von meinem Praktikumspartner und mir erstellt, wobei mein Kommilitone nicht namentlich genannt werden möchte. Das Protokoll wurde zwar testiert, es können sich allerdings dennoch inhaltliche oder grammatikalische Fehler darin befinden. Sollte jemand solche Fehler finden, wäre ich froh wenn er sie mir mitteilt.

 

Messung von e/m

 

Inhaltsverzeichnis

 

1. Grundlagen

 

1.1. Versuchseinleitung

 

In diesem Versuch geht es darum, mittels eines Fadenstrahlrohres, die spezifische Ladung von Elektronen zu bestimmen.

 

1.2. Fadenstrahlrohr

 

Das Fadenstrahlrohr verfügt zum einen über eine Elektronenkanone und zum anderen über jeweils eine Anode und Kathode. Die Elektronenkanone führt nun durch einen Glühdraht thermische Energie zu, was den glühelektrischen Effekt, auch als Glühemission oder Edison-Richardson-Effekt bekannt, erzeugt, wodurch sich die Schwingungsweite der Gitterbausteine des elektrischen Leiters erhöht. Außerdem führt dies dazu, dass die freien Elektronen ebenfalls an der Bewegung teilnehmen und ein gewisser Teil von ihnen aus dem Leiter austritt. Die dafür benötigte Energiemenge wird als die sogenannte Austrittsarbeit oder auch Ablösearbeit, welche die minimale Energie darstellt die nötig ist um für den Austritt eines Elektrons zu sorgen, bezeichnet. Der genaue Energiewert der Austrittsarbeit ist dabei abhängig von der Orientierung und atomaren Oberflächenstruktur und unterscheidet sich dadurch bei unterschiedlichen Materialien. Damit nun die Elektronen aus dem Leiter austreten können, muss die zugeführte thermische Energie größer sein als die materialspezifische Austrittsarbeit. Diese jetzt freien Elektronen bilden, wenn sie kein elektrisches Feld absaugt, im Vakuum um die Glühkathode eine Raumladungswolke und sorgen dafür, dass andere Elektronen, welche sich in der Nähe befinden, gegenüber der Kathode negativ aufgeladen werden. Dadurch kann der glühelektrische Effekt zur direkten Umwandlung von thermischer Energie in Elektrische genutzt werden. Dabei ist die notwendige Mindesttemperatur, um diesen Effekt zu erzeugen, stark von Material abhängig. Weiterhin sorgen die Anode und Kathode, zwischen denen eine Potentialdifferenz liegt, für eine Elektronenbeschleunigung in Richtung der Anode. Dort befindet sich ein Loch, wodurch einen Teil der Elektronen absorbiert und der Rest in die Gaskammer, in der sich unter niedrigem Druck stehendes Argon befindet, weitergeleitet wird. Die dabei wirkende kinetische Energie entspricht dabei der Energie des elektrischen Feldes:

         (1.2.1)

wobei m für die Elektronenmasse, v für die Geschwindigkeit der Elektronen, e für die elektrische Elementarladung und U für die Beschleunigungsspannung steht. Durch Umstellen von (1.2.1) kann man nun die Geschwindigkeit der Elektronen berechnen:

       (1.2.2)

In der Gaskammer sorgt nun das vorhandene Gas dafür, dass die Elektronen nicht zu stark durch gegenseitige Stöße abgebremst werden und dadurch ihre kinetische Energie verlieren. Allerdings blieben noch genug Stöße übrig um die Argon Atome zu ionisieren und so die Bahnen der Elektronen sichtbar werden zu lassen. Grund für diese, durch die unelastischen Stöße auftretende Ionisierung, ist die sogenannte Stoßionisation. Diese wird dadurch erzeugt, dass die freien Elektronen aus der Elektrokanone einen Teil ihrer Energie auf das Argon Atom überträgt und dadurch dafür sorgt, dass das gebundene Elektron des Atoms, den Atomkern verlässt. Damit dieser Fall allerdings eintritt, muss die übertragene Energie, wie bereits erwähnt, größer sein als die Austrittsarbeit. Für den Ionisierungsvorgang wird eine bestimmte Menge Energie benötigt, welche auch Ionisierungsenergie genannt wird. Die benötigte Energie kann dabei durch Strahlung, hohe Temperaturen oder aufgrund chemischer Vorgänge bereitgestellt werden. Erfolgt nun die die Ionisierung eines neutralen Atoms, erhält dieses eine positive elektrische Ladung und man spricht jetzt von einem Kation. Zusätzlich ist die ursprüngliche Ladungsdifferenz zwischen dem Atomkern und der Elektronenhülle nun, aufgrund des jetzt fehlenden Elektrons, unausgeglichen. Verfügt das Kation jetzt noch über weitere Elektronen, kann es noch weiter ionisiert werden, allerdings wird die benötigte Ionisierungsenergie bei jedem Ionisierungsvorgang größer. Nachdem nun das Elektron herausgeschlagen wurde, fängt das Argon Atom kurz darauf ein anderes Elektron ein, um sich wieder zu stabilisieren. Bei diesem Vorgang wird allerdings erneut Energie, hier in Form eines Photons, freigesetzt und dadurch kommt es zu einem Leuchten. Wenn das freie Elektron allerdings über weniger Energie verfügt als für die Austrittsarbeit nötig ist, dann erfolgt dadurch eine Anhebung des Energieniveaus eines gebundenen Elektrons. Es bleibt aber nur kurz auf dem höheren Energieniveaus, bevor es instabil wird und auf sein Ausgangsniveau zurückfällt. Bei diesem Vorgang wird ebenfalls ein Photon emittiert und das Ganze wird als Fluoreszenz bezeichnet. Durch das Leuchten lässt sich nun die Bahn der Elektronen verfolgen.

 

1.3. Magnetfeld

 

Durch permanente Magnete oder bewegte elektrische Ladungen werden Magnetfelder erzeugt, deren Feldlinien stets abgeschlossen sind, da es keine magnetischen Monopole gibt. Es lässt sich dabei zwischen der magnetischen Flussdichte  und der magnetischen Feldstärke  unterscheiden. Berechnet werden können sie mittels der Gleichung:

        (1.3.1)

wobei die Permeabilität, auch magnetische Leitfähigkeit genannt,  definiert ist als:

     (1.3.2)

dabei ist  die magnetische Feldkonstante  die vom Material abhängige Permeabilitätszahl. Um das magnetische Feld selbst zu beschreiben verwendet man den magnetische Fluss , welcher durch die magnetische Flussdichte mittels eines Flächenintegrals wie folgt berechnet werden kann:

  (1.3.3)

Dieses erzeugte Magnetfeld wird nun dazu genutzt den Metallbalken zu einer Schwingung anzuregen. Durch diese Schwingung wird nun der magnetische Fluss beeinflusst, wodurch eine, proportional zur Schwingungsamplitude, Spannung induziert wird, welche mit Hilfe eines Oszilloskops gemessen werden kann. Diese Induktionsspannung , welche auftritt wenn in der Fläche, die von einem Leiter umgeben ist, eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses stattfindet, kann auf Basis von Formel (1.3.3) berechnet werden mit:

   (1.3.4)

 

1.4. Helmholtz-Spulen

 

Das Fadenstrahlroh ist innerhalb der Helmholtz-Spulen positioniert. Diese beiden Spulen haben den Radius R, sind im Abstand R parallel zueinander angeordnet und es durchfließt sie beide die gleiche Strommenge I, wobei allerdings die Richtung der Stromflüsse entgegengesetzt sind. Durch den Stromfluss entsteht in jeder Spule ein eigenes Magnetfeld B, welche sich in der Mitte überlagern und dadurch ein homogenes Magnetfeld erzeugen. Beschreiben lässt sich dieser Vorgang mittels des Biot-Savart-Gesetzes:

   (1.4.1)

wobei hier  für die magnetische Feldkonstante, dl für einen infinitesimalen kleinen Leiterstück und  für den Abstand von einem betrachteten Spulenteils zu dem Punkt, für den die Magnetfeldstärke gemessen werden soll. Außerdem befindet sich die x-Achse im Mittelpunkte der Spulen, wodurch folgende Vereinfachung genutzt werden kann:

   (1.4.2)

und durch die Verwendung der Rechte-Hand-Regel gilt weiterhin:

       (1.4.3)

Aus (1.4.1), (1.4.2) und (1.4.3) folgt nun:

  (1.4.4)

Wandelt man nun noch dl und  in sphärische Koordinaten um:

(1.4.5)

und setzt man diese dann in (1.3.4) ein, so erhält man:

         (1.4.6)

Es gilt weiterhin:

    (1.4.7)

woraus dann direkt:

      (1.4.8)

folgt. Da außerdem die Magnetfeldstärke im Mittelpunkt der Spulen ermittelt werden soll, muss weiterhin:

   (1.4.9)

gelten. Setzt man dies nun in (1.4.8) ein, addiert die Beträge der einzelnen Spulen miteinander und berücksichtigt anschließend noch, dass die Spulen aus n Windungen bestehen, so erhält man schließlich die Gleichung:

        (1.4.10)

 

1.5. Lorentz- und Zentripetalkraft

 

Aufgrund des Magnetfeldes bewegen sich nun die Elektronen auf einer Kreisbahn innerhalb der Spulen. Der Grund dafür ist die sogenannte Lorenz-Kraft :

        (1.5.1)

wobei q für die elektrische Ladung steht. Außerdem existiert auch noch die sogenannte Zentripetalkraft . Sie basiert einmal auf der Zentripetalbeschleunigung :

   (1.5.2)

und weiterhin auf dem zweiten newtonschen Gesetz:

    (1.5.3)

Setzt man nun die Gleichung (1.5.2) in (1.5.3) ein, so kann man die Zentripetalkraft berechnen mit:

         (1.5.4)

Da die Lorentzkraft genauso auf den Kreismittelpunkt zeigt wie die Zentripetalkraft, kann man diese beiden Kräfte nun gleichsetzen:

(1.5.5)

Diese Gleichung lässt sich nun, da die Elektronenbewegung senkrecht zum magnetischen Feld stattfindet, vereinfachen zu:

         (1.5.6)

Wenn man nun (1.2.2) in (1.4.6) einsetzt, so erhält man die Formel:

(1.5.7)

Nun kann man diese Gleichung umstellen und erhält so die Elementarladung pro Elektronenmasse:

      (1.5.8)

und durch das Einsetzen von (1.4.10) in (1.5.8) erhält man schließlich:

         (1.5.9)

 

2. Auswertung

 

2.1. Bestimmung der Magnetfeldstärke

 

Zunächst wurde das Fadenstrahlrohr mit Helmholtz-Spulen wie in der Versuchsanleitung beschrieben angeschlossen. Es wurde ein Spulenstrom I eingestellt und anschließend die Gitterspannung und Anodenspannung U so verändert, dass der sichtbare Fadenstrahl auf einen der Stege trifft. Durch die Stege sind die Radien r der Kreisbahnen des Fadenstrahls gegen zu 2 cm, 3 cm, 4 cm und 5 cm, wobei der Fehler laut Hersteller höchstens 1% beträgt. Zur Bestimmung des Radius R der Helmholtz-Spulen wurde der Innen- und Außendurchmesser mehrfach mit einem Metermaß gemessen, wobei der Messfehler mit 0,2 cm angenommen wird. Der Radius lässt sich nun folgendermaßen berechnen:

 

Aus den so berechneten Radien ,  und  wird nun der Mittelwert berechnet zu . Aus der größten Abweichung zwischen Mittelwert und Messwert, sowie systematischen Fehler ergibt sich ein Gesamtfehler des Mittelwertes von , sodass sich ein Wert ergibt von . Mit dem Radius und der Anzahl der Windungen  kann nun nach Formel (1.4.10) die Magnetfeldstärke berechnet werde. Hier folgt eine Beispielrechnung für die erste Messung

 

 

Messung

I in A ()

B in

1

1,7

 

2

1,7

 

3

2,12

 

4

2,12

 

5

1,40

 

6

1,40

 

7

1,40

 

8

0,90

 

9

2,80

 

10

2,80

 

11

2,60

 

12

2,60

 

13

2,20

 

14

2,20

 

15

2,20

 

16

1,90

 

17

1,90

 

18

1,90

 

19

1,10

 

20

1,10

 

21

1,55

 

22

1,55

 

23

1,55

 

24

1,55

 

Tabelle 1: Magnetfeldstärke
 

2.2. Bestimmung der spezifischen Ladung

 

Die spezifische Ladung von Elektronen  kann nun mit Formel (1.4.6) berechnet werden. Für die erste Messung wird nun eine Beispielrechnung gezeigt:

 

Aus den berechneten Werten von  wird nun der Mittelwert berechnet zu . Der Fehler des Mittelwertes setzt sich zusammen aus der doppelten Standardabweichung des Mittelwerts von , welche zu  berechnet wurde,  mit  und dem größten Fehlerwert von , aus Messung 24 mit , sodass sich ein Gesamtfehler von  ergibt. Somit ergibt sich ein Wert von .

Messung

U in V

r in m

 in

1

207

0,04

 

2

308

0,05

 

3

299

0,04

 

4

166

0,03

 

5

210

0,05

 

6

139

0,04

 

7

90

0,03

 

8

108

0,05

 

9

121

0,02

 

10

292

0,03

 

11

251

0,03

 

12

104

0,02

 

13

325

0,04

 

14

179

0,03

 

15

79

0,02

 

16

64

0,02

 

17

136

0,03

 

18

242

0,04

 

19

141

0,05

 

20

92

0,04

 

21

257

0,05

 

22

165

0,04

 

23

90

0,03

 

24

57

0,02

 

Tabelle 2: Spezifische Elektronenladung

 

3. Diskussion

 

Der in diesem Versuch bestimmte Wert von  stimmt mit dem Literaturwert [1] von  überein. Zu Fehlerquellen die bei der Berechnung des Wertes nicht berücksichtigt wurden zählen unter anderem, dass der Fadenstahl bei kleineren Radien zunehmen schlechter zu erkennen war, man ihn so beim ersten Steg kaum noch erkennen konnte und nicht genau beurteilt werden konnte, ob der Strahl genau mittig auf den Steg auftrifft. Außerdem könnten magnetische Felder der Geräte und Kabel, sowie das Erdmagnetfeld Einfluss auf den Versuch genommen haben. Zudem waren die Spulen zu groß um mit dem Messschieber gemessen zu werden, weshalb ein Metermaß verwendet wurde um die Durchmesser zu messen, wodurch ein größerer Fehler zustande kam.

 

4. Zusammenfassung

 

In diesem Versuch wurde die spezifische Ladung von Elektronen bestimmt zu:

 

 

Quellenverzeichnis

 

  1. Kuchling, H. (2014). Taschenbuch der Physik (21. Ausg.). München: Carl Hanser Verlag.
  2. Meschede, D. (2010). Gerthsen Physik (24. überarbeitete Ausg.). Springer-Verlag.
  3. Tipler, P. A., & Mosca, G. (2009). Physik (6. Ausg.). Springer-Verlag.
  4. Wikipedia. (24. Juni 2015). Abgerufen am 24. Juni 2015 von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz-Spule
  5. Wikipedia. (10. Juni 2015). Abgerufen am 10. Juni 2015 von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetismus

 

Messprotokoll

 

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