Praktikumsprotokoll Zähigkeit von Flüssigkeiten

Dieses Praktikumsprotokoll entstand während meines Physikstudiums im Rahmen des Moduls A-Praktikum. Es wurde von meinem Praktikumspartner und mir erstellt, wobei mein Kommilitone nicht namentlich genannt werden möchte. Das Protokoll wurde zwar testiert, es können sich allerdings dennoch inhaltliche oder grammatikalische Fehler darin befinden. Sollte jemand solche Fehler finden, wäre ich froh wenn er sie mir mitteilt.

 

Zähigkeit von Flüssigkeiten

 

Inhaltsverzeichnis

 

Tabellenverzeichnis

1. Grundlagen

1.1. Versuchseinleitung

1.2. Innere Reibung und Viskosität

1.3. Strömungsarten und Reynoldszahl

1.4. Die newtonschen Axiome

1.5. Hydrostatischer Druck, statischer Auftrieb und Kräfteberechnung

1.6. Volumenstrom und Kontinuitätsgleichung

1.7. Erforderliche Gleichungen

2. Auswertung

2.1. Methode nach Stokes

2.2. Methode nach Hagen-Poiseuille

3. Diskussion

3.1. Diskussion und Vergleich mit Literaturwerten

3.2. Verbesserungsmöglichkeiten

4. Zusammenfassung

Quellenverzeichnis

Messprotokoll

 

Tabellenverzeichnis

 

Tabelle 1: Messwerte Versuch 2

 

1. Grundlagen

 

1.1. Versuchseinleitung

 

Ziel des Versuchs Zähigkeiten von Flüssigkeiten ist die Bestimmung der Zähigkeit von Paraffinöl. Dazu wird einmal die Methode nach Stokes ohne und einmal mit Korrekturwerten verwendet. Des Weiteren soll die Zähigkeit von Wasser bei zwei unterschiedlichen Temperaturen bestimmt werden. Hierbei soll die Methode nach Hagen – Poiseuille Anwendung finden. Zusätzlich sollen für beide Flüssigkeiten noch die Reynoldszahlen bestimmt werden.

 

1.2. Innere Reibung und Viskosität

 

Die innere Reibung bestimmt die Zähigkeit von Flüssigkeiten und Werkstoffen. Sie hat Einfluss auf die Strömung und Verformung eines Stoffes, auf den Reibungswiderstand eines Körpers innerhalb einer Flüssigkeit, sowie auf die Dämpfung von Schallwellen. Die Viskosität  ist eine Angabe für die Zähflüssigkeit einer Flüssigkeit. Dabei gilt, je kleiner die Viskosität, desto dünnflüssiger ist die Flüssigkeit und je größer, desto dickflüssiger. Beispielsweise hat Wasser eine niedrigere Viskosität als Honig. Berechnet wird die innere Reibung  mittels der Formel:

   (1.2.1)

 

1.3. Strömungsarten und Reynoldszahl

 

Es wird zwischen zwei Strömungsarten unterschieden. Die eine Art ist die laminare Strömung. Bei dieser findet während der Bewegung von Flüssigkeiten keine sichtbare Verwirbelung, beziehungsweise Querströmung, statt, sondern die Flüssigkeit strömt in Schichten, welche sich nicht miteinander vermischen. Die andere Art ist die turbulente Strömung. Dabei tritt eine sichtbare Verwirbelung der sich bewegenden Flüssigkeit auf und führt so zu einer starken Vermischung der einzelnen Strömungsschichten.

Die Reynoldszahl Re bezeichnet das Verhältnis von Zähigkeitskräften zu den Trägheitskräften. Daraus folgt dann auch, dass das Turbulenzverhalten ähnlicher Körper identisch ist, wenn die Re Zahlen gleich sind. Berechnet wird die Reynoldszahl mit der Gleichung:

     (1.3.1)

wobei  die Dichte der Flüssigkeit, v die Strömungsgeschwindigkeit, l die charakteristische Länge des Körpers,  die kinetische Energie und  die Reibungsenergie ist. Des Weiteren ist  die dynamische Viskosität, welche definiert ist als:

  (1.3.2)

dabei ist  die kinematische Viskosität und  die Fluidität, beziehungsweise der Kehrwert der dynamischen Viskosität.

 

1.4. Die newtonschen Axiome

 

1. newtonsche Axiom:

Jeder Körper behält seine Geschwindigkeit und Richtung so lange bei, bis er durch eine äußere Krafteinwirkung zu einer Veränderung gezwungen wird.

2. newtonsche Axiom:

Durch eine einwirkende Kraft F wird der Körper beschleunigt, wobei die Beschleunigung a proportional zu der wirkenden Kraft ist und deren Richtung besitzt:

(     (1.4.1)

3. newtonsche Axiom:

Wirkt ein Körper A auf einen Körper B mit einer beliebigen Kraft F, dann wirkt auch der Körper B auf Körper A mit der gleichen Kraft F. Allerdings sind die Kräfte dabei entgegengesetzt:

          (1.4.2)

 

1.5. Hydrostatischer Druck, statischer Auftrieb und Kräfteberechnung

 

Der hydrostatische Druck p, ist der Druck, welcher, durch den Einfluss der Gravitation g, innerhalb einer ruhenden Flüssigkeit auftritt. Dabei ist die die Form des Gefäßes, in dem sich die Flüssigkeit befindet, nicht wichtig, sondern nur dessen Höhe h. man nennt dies auch hydrostatisches Paradoxon. Berechnet wird der hydrostatische Druck mit der Formel:

   (1.5.1)

Der statische Auftrieb wird durch den hydrostatischen Druck erzeugt. Wenn ein Gegenstand in eine Flüssigkeit eintaucht, dann bildet sich unter dem Gegenstand ein stärkerer Druck, da sich dieser Punkt tiefer im Wasser befindet, als über dem Gegenstand. Die dabei entstehende Auftriebskraft  entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit, wobei sich die Gewichtskraft selbst aus der Dichte, dem Volumen V des eintauchenden Körpers und der Gravitation errechnen lässt:

    (1.5.2)

Die einzelnen Kräfte, welche bei einer ins Öl fallenden Kugel auftreten, werden berechnet mit den Gleichungen:

  (1.5.3)

      (1.5.4)

    (1.5.5)

        (1.5.6)

berechnet. Wobei  für die Reibungs- und F für die Gesamtkraft steht. Dabei wirkt die Gewichtskraft nach unten und sowohl die Auftriebs- als auch die Reibungskraft nach oben. Für eine grafische Darstellung der Wirkungsrichtung der jeweiligen Kräfte, siehe Abbildung 1.

 

1.6. Volumenstrom und Kontinuitätsgleichung

 

Der Volumenstrom Q ist das Volumen einer Flüssigkeit, welches innerhalb einer bestimmten Zeit durch einen Querschnitt fließt. Die Kontinuitätsgleichung besagt nun, dass der Volumenstrom innerhalb eines Rohres immer konstant ist, auch dann wenn sich der Querschnitt der Leitung ändert. Allerdings bewirkt eine Verkleinerung des Querschnitts, eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit und eine Vergrößerung verringert sie. Die Gleichung für den Volumenstrom sieht wie folgt aus:

      (1.6.1)

Für die Bestimmung der Viskosität im zweiten Versuchsteil muss allerdings berücksichtigt werden, dass die Höhe nicht konstant ist:

 

Wobei r der Radius der Kapillare, R der Radius des Zylinders und t die gemessene Zeit vom Absinken des Wasserspiegels von Höhe  auf Höhe  ist.

 

1.7. Erforderliche Gleichungen

 

Für die Herleitung der erforderlichen Gleichungen für die Auswertungen, werden zuerst die Gleichungen (1.4.3), (1.4.4), (1.4.5) und (1.4.6) benötigt, aus denen dann folgt:

         (1.7.1)

Weiterhin wird die Formel:

             (1.7.2)

benötigt, bei der  für die gemessene Geschwindigkeit,  für die Aufstiegsgeschwindigkeit und  für den Korrekturfaktor steht. Dieser Korrekturfaktor ist dabei definiert durch:

           (1.7.3)

wobei r für den Kugelradius und R für den steht. Setzt man nun die Gleichung (1.6.2) in (1.6.1) ein, dann folgt daraus:

       (1.7.4)

 

Da für diesen Versuch die Kugelmasse und der Kugeldurchmesser gemessen wurde, wird für die Kugeldichte diese Formel verwendet:

           (1.7.5)

Setzt man nun (1.6.5) in (1.6.4) ein, so erhält man:

       (1.7.6)

Setzt man (1.6.5) in (1.6.1) ein, so erhält man die Formel für die dynamische Viskosität ohne Korrektur:

    (1.7.7)

 

2. Auswertung

 

2.1. Methode nach Stokes

 

Der Abstand h zwischen den Markierungen am Fallrohr wurde mit einem Metermaß, dessen Fehler mit 0,05 cm angenommen wird, gemessen zu:

 

Der Fallrohrdurchmesser  wurde mit einem Messschieber, dessen Fehler mit 0,05 mm angegeben ist, gemessen zu:

 

Die Durchmesser  der zwei Kugelsorten, welche im Folgenden durch ihre Farben unterschieden werden, wurden mit einer Bügelmessschraube, dessen Fehler mit 0,01 mm angegeben ist, gemessen zu:

 

und

 

Die Masse von vier Kugeln der jeweiligen Kugelsorte wurde mit einer Waage, deren Fehler mit 0,001 g angegeben ist, gemessen zu:

 

und

 

Die relative Dichte des Öls in Bezug auf Wasser  wurde mit einem Aräometer gemessen, wobei der Fehler mit 0,01 angenommen wird. Der Mittelwert der fünf gemachten Messungen der relativen Dichte (Werte sind dem Messprotokoll zu entnehmen) ergibt , der Fehler setzt sich aus der größten Differenz zwischen Mittelwert und Messwert (zufälliger Fehler), und dem systematischen Fehler von 0,01 zusammen, wodurch sich ein Wert von  ergibt. Zur Berechnung der Dichte des Öls gilt der Zusammenhang:

           (2.1.1)

und für die Dichte des Wassers wird der Wert  verwendet. Daraus ergibt sich für die Dichte des Öls:

 

Für die Falldauer  der Kugeln zwischen den beiden Markierungen (Werte sind dem Messprotokoll zu entnehmen) wurde ein Stoppuhr zur Messung verwendet, wobei durch die das Reaktionsvermögen ein systematischer Fehler von 0,2 s angenommen wird, und es ergeben sich die Mittelwerte  und . Die Fehler ergeben sich aus der Standardabweichung des Mittelwerts für die jeweilige Kugelsorte, sowie dem systematischen Fehler zu  und . Daraus ergeben sich die Messwerte  und . Für die Sinkgeschwindigkeit  gilt nun:

           (2.1.2)

und ergibt

 

und

 

 

Fehlerrechnung:

 

 

Für die Berechnung der dynamischen Viskosität ohne Korrektur wird (1.7.7), und mit Korrektur (1.7.6) verwendet

 

 

 

Fehlerrechnung:

 

 

Daraus ergeben sich nun folgende Messwerte:

 

 

 

Zur Berechnung der Reynoldszahl wird nun (1.3.1) verwendet:

 

 

 

Fehlerrechnung:

 

 

Daraus ergibt sich nun für die Reynoldszahlen:

 

Sowohl mit, als auch ohne Berücksichtigung des endlichen Fallrohrdurchmessers sind alle Reynoldszahlen größer als eins, was bedeutet, dass die Stokessche Gleichung nicht mehr gilt und die Entstehung von Wirbel mit berücksichtigt werden müsste.

 

2.2. Methode nach Hagen-Poiseuille

 

Um die Durchflusszeit der zehn Versuchsdurchführungen zu messen, wurde eine Stoppuhr mit zwei Nachkommastellen verwendet. Die damit ermittelten Messerwerte können der rechts abgebildeten Tabelle entnommen werden. Die, durch das menschliche Reaktionsvermögen und Ungenauigkeit der Stoppuhr, angenommene Messungenauigkeit liegt bei ± 0,2 s. Für die Mittelwertberechnung gilt die Formel:

         (2.2.1)

Durch Einsetzen der ermittelten Messwerte ergibt sich daraus ein Mittelwert für Wasser bei 20 °C von 122,3 s und für Wasser bei 12 °C von 147,8 s. Für die

Berechnung der Zähigkeiten  und  wird nun die Gleichung (1.6.2) verwendet:

Messung

Messwert 20°C

in s

Messwert 12 °C

in s

1

122,61 ± 0,2

152,92 ± 0,2

2

123,40 ± 0,2

154,58 ± 0,2

3

122,26 ± 0,2

154,39 ± 0,2

4

122,34 ± 0,2

154,11 ± 0,2

5

122,42 ± 0,2

150,64 ± 0,2

6

122,17 ± 0,2

144,87 ± 0,2

7

122,11 ± 0,2

144,50 ± 0,2

8

122,04 ± 0,2

141,55 ± 0,2

9

122,11 ± 0,2

139,98 ± 0,2

10

121,84 ± 0,2

140,17 ± 0,2

Tabelle 1: Messwerte Versuch 2

(2.2.2)

und für :

 

Die Reynoldszahlen für die beiden Messungen, werden nun ermittelt mit Gleichung (1.3.1), wobei jedoch für v die Fließgeschwindigkeit in der Kapillare verwendet werden muss:

 

 

Fehlerrechnung:

Die genaue Bestimmung der Standardabweichung σ erfolgt mittels der Formel:

       (2.2.3)

und ergibt 0,41 s, beziehungsweise 5,84 s. Die Standardabweichung des Mittelwertes wird nun berechnet durch

           (2.2.4)

und man bekommt 0,13 s, beziehungsweise 1,85 s. Das Ergebnis, auf der Grundlage der zehn erfolgten Messungen, liegt damit bei  = (122,3 ± 0,13) s und  = (147,8 ± 1,85) s. Nun verwendet man die Regeln der Fehlerrechnung für Produkte und Quotienten von fehlerhaften Größen, wobei dx der Gesamtfehler von x ist:

Für  gilt

       (2.2.5)

und für  gilt

               (2.2.6)

Der Gesamtfehler wird dabei durch die Zusammenrechnung des ermittelten Messfehlers mit der Messunsicherheit der Messgeräte:

                        (2.2.7)

Setzt man nun die Gleichung (2.2.2) als  ein, bekommt man die folgende Formel:

 

 

Für die Fehlerrechnung der Reynoldszahlen verwendet man erneut dieses Verfahren, nur setzt man nun (1.3.1) als  ein:

 

 

Damit erhält man als Zähigkeitswerte von:

 

 

und für die Reynoldszahlen Werte von:

 

 

Aus den Werten für die Reynoldszahlen folgt dann, dass es sich bei beiden Strömungen um laminare Strömungen handelt.

 

3. Diskussion

 

3.1. Diskussion und Vergleich mit Literaturwerten

 

Da Paraffinöle sich sehr stark in ihren Eigenschaften unterscheiden können, gibt es für die Viskosität keinen Vergleichswert, sondern nur einen Vergleichsbereich von 0,1  bis 1000 , welcher keine signifikante Abweichung mit einem der berechneten Wert für die Viskosität des Öls ausweist, allerdings müsste noch eine rechnerische Korrektur vorgenommen werden, um die Viskosität genau zu bestimmen, da die berechneten Reynoldszahlen darauf schließen lassen, dass die Strömung nicht laminar verläuft und sich Wirbel bilden.

Die Werte für  stimmen mit den Literaturwerten von  , unter Berücksichtigung der errechneten Abweichung, überein. Ebenso liegt der errechnete Wert für  zwischen den Werten für 10 °C und 15 °C warmes Wasser, ein Wert für genau 12 °C konnte nicht ermittelt werden. Die ursprünglich im Skript verlangten Werte für 0 °C kaltes Wasser konnten aus 2 Gründen nicht ermittelt werden. Erstens weil das Eiswasser bereits bei der ersten Messung schon wärmer war. Dies lässt sich auch daran erkennen, dass bei einem Einsetzen des ersten Messwertes in die Gleichung (2.2.2) ein Wert für die Zähigkeit herauskomm, welcher dem Wert für  entspricht. Zweitens stieg die Temperatur während des Versuches leicht an, was zu einer weiteren Verfälschung des Versuches führte. Davon ist dann auch die errechnete Reynoldszahl betroffen, da sie von der Zähigkeit abhängig ist.

 

3.2. Verbesserungsmöglichkeiten

 

Aufgrund der menschlichen Reaktionszeit ist es nicht möglich die genaue Fallzeit festzuhalten. Ebenso gibt es dadurch immer wieder kleine Unterschiede bei dem zurückgelegten Abstand der Kugeln. Dadurch werden die Messergebnisse deutlich beeinflusst. Eine Verbesserungsmöglichkeit wäre hier die Verwendung einer Lichtschranke, um eine automatische Erfassung der Zeit und dem gemessenen Abstand zu ermöglichen. Außerdem wäre die Aufnahme weiterer Wertepaare eine zusätzliche Möglichkeit, um die Berechnung eines möglichst genauen Mittelwertes und der dazugehörigen Standardabweichung zu verbessern.

 

4. Zusammenfassung

 

Die durch die Methode nach Stokes ermittelten Werte liegen bei:

 

und die durch die Methode nach Hagen-Poiseuille ermittelten Werte liegen bei:

 

 

Quellenverzeichnis

 

  1. Demtröder, W. (2013). Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme (6., neu bearbeitete und aktualisierte Ausg.). Springer-Verlag.
  2. Hemminger, W. (kein Datum). PTB. Abgerufen am 23. September 2014 von PTB: https://www.ptb.de/cms/fileadmin/internet/publikationen/buecher/Kohlraus...
  3. Meschede, D. (2010). Gerthsen Physik (24. überarbeitete Ausg.). Springer-Verlag.
  4. Ossietzky, C. (kein Datum). Universität Oldenburg. Abgerufen am 23. September 2014 von Universität Oldenburg: http://www.uni-oldenburg.de/fileadmin/user_upload/physik/ag/physikprakti...
  5. Tipler, P. A. (2000). Physik (3. korrigierte Ausg.). Spektrum Akademischer Verlag.
  6. Wagner, J. (kein Datum). Universität Heidelberg. Abgerufen am 23. September 2014 von Universität Heidelberg: http://www.physi.uni-heidelberg.de/Einrichtungen/AP/anleitungen/212_Zaeh...

 

Messprotokoll

 

 

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